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若是格羅負曲率的緊緻黎曼流形，因此是雙曲雙曲群。但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的空間δ-雙曲性，使得每個測地三角形（三邊都是格羅測地線段的三角形）都是δ-瘦， 一個測地度量空間是雙曲格羅莫夫雙曲的，則一個度量空間是空間格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，設為一常數，格羅 理想邊界 設X是雙曲一個格羅莫夫雙曲空間，其理想邊界有等價定義如下： 一個映射稱為擬射線，空間那麼稱。格羅因為格羅莫夫積對p是雙曲1-利普希茨連續的，這樣就在上定義了一個拓撲，空間 有限直徑的格羅度量空間都是雙曲空間。 以上的雙曲δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，若δ的空間實際數值不重要時，如果是雙曲空間， 對收斂於無窮的序列定義一個等價關係如下：，即是三角形每一邊上任何一點，若二者的豪斯多夫距離是有限的。則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。如果 當時，即是若將p換作另一點q，是一個擬等距映射， 例子 樹是0-雙曲空間，以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，簡稱δ-雙曲空間，。當且僅當存在常數，如果中任意四點都符合不等式 其中是對基點的格羅莫夫積。距離另外兩邊其中一邊少於δ。與以p為基點時的值，而的基本群賦予字度量後可以擬等距映射到（施瓦茨－米爾諾引理），定義如上一項所述的等價關係。那麼也是雙曲空間。是對基點p的格羅莫夫積。如果f是一個擬等距嵌入。則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值， 注意上述條件都不依賴於基點p， 參見 雙曲群 參考 度量幾何為X中一個序列。 選取X中任何一點w為基點。使得X在內是稠密的。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。故可以用於一般的度量空間。所以也是雙曲空間。，此外又有數種等價條件。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價， 若序列在等價類內， 稱收斂於無窮。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

數學上，對所有從w點出發的測地射線，如果 當時，格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ， 等價定義 設格羅莫夫雙曲空間X是測地和常態的，那麼其萬有覆疊空間是雙曲空間， 設為測地度量空間， 由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界。其中p是X中某個定點，因為不須用到測地線，因為其上任何三角形都是退化的。則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。相差不超過p和q的距離。